# Segnali e Sistemi per le Telecomunicazioni
#### Claudio Prati
###### 6 March 2017
#### Prima lezione

## Introduzione
Le lezioni seguono il libro di testo.

Nel corso verranno spiegate delle tecniche per codificare e trasmettere
informazioni nel campo delle telecomunicazioni.

Studieremo delle tecniche deterministiche e razionali, ma non sono le uniche
possibili, infatti esistono i meccanismi di reti neurali e machine learning che
sono in grado di apprendere meccanismi complicati in modo semplice.

Alcuni dei problemi si possono risolvere con tecniche classiche/razionali, usare
gli algoritmi machine learning per risolvere questi problemi é overkill.

Alcuni segnali possono essere modellizzati come funzione di una variabile.
Mentre altri segnali non possono essere rappresentati come funzioni ma sono
comunque offetto di studi, ad esempio una registrazione della voce.

Altre tecniche interessanti sono quelle che permettono di ridurre il rumore di
un segnale, ad esempio usate per pulire il segnale ricevuto dalle sonde nello
spazio.

### Dettagli sul corso
Lunedí inizia alle 16:15
Mercoledí si fanno 3 ore normalmente, iniziando alle 14:30,
la quarta ora si fará in via eccezionale se servisse recuperare delle lezioni.
Il venerdí si comincia alle 8:15

Il __laboratorio__ consiste nell'applicare in matlab le cose spiegate in teoria,
non é oggetto dell'esame ma interessante e utile per capire meglio i concetti.

Il __libro di testo__ é scritto da Prati.

__Esami__: no prove intermedie, 2 appelli per sessione con possibilitá di
anticipare uno dei due appelli prima dell'inizio della sessione.
Quindi é possibile fare due appelli su tre date.
All'esame é possibile portare tutto il materiale che si vuole.

Il __materiale didattico__ si puó trovare dalla pagina del personale DEIB di
Prati, nella sessione *materiale didattico*, in cui sono presenti tutti i temi
d´ esame dal 2007, i file di matlab e il formulario.

__contatti:__ l'orario di ricevimento é il martedí... ma non viene seguito dal
docente, peró se si manda un email al professore ci si puó mettere d'accordo.
email:*claudio.prati@polimi.it*

### Preconcetti
Una __funzione__ é un valore intero, reale o complesso che varia in base ad un
altro valore, detto variabile indipendente puó essere rappresentato in una 
tabella o in un grafico.

La variabile indipendente é spesso il tempo ma non é per forza cosí.
Infatti esistono sistemi anticausali in cui l'uscita avviene prima
dell'ingresso, e questi sistemi non possono essere spiegati usando il tempo come
variabile.
L'unico film che risolve il paradosso del tempo é Interstellar, e lo fa usando
il concetto di universi paralleli, altre soluzioni ricadono in un paradosso
circolare.

Se consideriamo __lo spazio come variabile__ e non il tempo, abbiamo per un certo
stimolo, degli effetti causali e degli effetti anticausali.

Una prima funzione é 
$$X(t) = cos(2\pit)$$
La rappresentazione grafica é semplice

Se trattiamo una funzione complessa é questa
$$X(t)= cos(2pit) + jsin(2pit)$$
Ha una parte reale e una parte immaginaria, qindi per rappresentarla
graficamente devo usare due grafici, uno per la parte reale e uno per la parte
immaginaria.
Una seconda rappresentazione é quella polare in cui i due grafici sono modulo e
angolo, l'angolo in teoria dei segnali viene chiamato *fase*.


Il modulo del grafico polare é $|x(t)| = sqrt(cos^2(2pit)+sin^2(2pit))=1)$
Mentre la fase é $fase x(t) = \arctg(\sin(2\pit)/\cos(2\pit))=2\pit$

Matlab potrebbe dare una rappresentazione diversa del grafico della fase, a
dente di sega, e questo é grazie al fatto che gli angoli si ripetono ogni $2\pi$

L'ambiguitá di $2\pi$ permetterá di risolvere in modo esatto il problema del
campionamento.

Se prendiamo un __segnale discreto__, possiamo rappresentare un segnale
continuo in in forma discreta, come una sequenza di numeri 
$$X(nT)=\cos(2\pinT)$$.

Il calcolatore per T=1/4 legge una formula $cos(2\pin/4)=X_n$
La formula numerica dei campioni viene rappresentata col simbolo $X_n$ a
differenza di quella grafica che viene rappresentata con $nT$

L'elenco di segnali che affronteremo nel corso é:
- Segnali continui reali e complessi
- Segnali discreti

Entrambe le tipologie di segnali possono essere:
- periodici
- aperiodici

### Operazioni elementari sui segnali
__Traslazione__:
$$X(t-\tau)$$
Il segnale originale $X(t)$ viene spostato verso sinistra (viene ritardato), in
pratica stiamo modificando l'asse dei tempi, non il segnale.
$X(t-\tau)$ ad esempio é un anticipo

__Scalatura__:
$$X(at)$$
Se $a>1$ il tempo diventa piú veloce e il segnale *dimagrisce*
Se $a<1$ ho dilatato il tempo e il segnale risulta *ingrassato*

__Scalatura e traslazione__:
$$X(at-\tau)$$
Le due operazioni vanno effettuate in un ordine preciso, in base alla forma in
cui é espresso il segnale, ad esempio:
- __Prima la traslazione__
- __Poi la scalatura__
$$X(\xi)$$
$$\xi = at - \tau$$
$$t = (\xi+\tau)\a$$

$$\Tilde{X}(t)=\Sum_{-\inf}^{+\inf}(X(t-nT_0))$$
$$\Tilde{X}_n=\Sum_{-\inf}^{+\inf}i(X_{n-kN_o}))$$

Energia di un segnale qualsiasi
$$E_{x(t)}=\Int_{-\inf}^{+\inf}|X(t)|^2dt$$

Potenza di un segnale periodico
$$P_{x(t)}=\Lim_{T->\Inf} 1/T
\Int_{-T/2}^{T/2}|X(t)^2dt=1/T_0\Int_{T_0}|X(t)|^2dL$$